Question

已知函数f（x）=x³-2x²-4x-7．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求a＞2时，证明：对于任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f'（a）（x-a）；
（Ⅲ）设x₀是函数y=f（x）的零点，实数α满足，试探究实数α、β、x₀的大小关系．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f'（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2）=0，得或2．
则x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

则f（x）的单调递增区间为，（2，+∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），
则g'（x）=3x²-4x-4-（3a²-4a-4），记g'（x）=h（x），
因为当x＞2时，h'（x）=6x-4＞0，则h（x）在（2，+∞）单调递增，
又因为g'（a）=h（a）=0，
所以当2＜x＜a时，g'（x）＜0，当x＞a时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（2，a）递减，在（a，+∞）递增，又x≠a，
所以g（x）＞g（a）=0成立，所以命题得证．
（Ⅲ）因为f（x）的单调递增区间为，（2，+∞），单调递减区间为，且，
所以函数f（x）的零点x₀只有一个，且x₀＞2，且对（-∞，x₀）内的任意实数x，都有f（x）＜0，
因为f（α）＞0=f（x₀），所以α＞x₀＞2，所以f'（α）=（3α+2）（α-2）＞0，
在（Ⅱ）的结论中，取a=α，x=x₀，
则有f（α）+f'（a）（x₀-α）＜f（x₀）=0，①
由，得f（α）+f'（α）（β-α）=0，②
构造函数F（x）=f（α）+f'（α）（x-α），
则由①得F（x₀）＜0，由②得F（β）=0，所以F（x₀）＜F（β），
因为f'（α）＞0，所以F′（x）=f'（α）＞0，所以F（x）=f（α）+f'（α）（x-α）为增函数，
所以x₀＜β，
因为F（α）=f（a）＞0=F（β），所以β＜α，
综上得x₀＜β＜α．
分析：（Ⅰ）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），利用导数证明g_min（x）＞0即可；
（Ⅲ）由函数极值可判断零点x₀的范围，再由f（α）＞0可判断α与x₀的大小，由，得f（α）+f'（α）（β-α）=0，构造函数F（x）=f（α）+f'（α）（x-α），据F（x）的单调性及F（x₀）与F（β）的大小可判断βx₀的大小，从而可以得到答案．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数极值，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，能力要求高，难度较大．