Question

已知曲线C₁：y=

x2

e

+e（e为自然对数的底数），曲线C₂：y=2elnx和直线l：y=2x．
（1）求证：直线l与曲线C₁，C₂都相切，且切于同一点；
（2）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁，C₂及直线l分别相交于M，N，P，记f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）设直线x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）与曲线C₁和C₂的交点分别为A_m和B_m，问是否存在正整数n，使得A₀B₀=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． （本小题参考数据e≈2.7）．

Answer 1

分析：（1）欲证明：直线l与曲线C₁，C₂都相切，且切于同一点，只须根据切线的斜率分别求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用斜率为2即可求出两个切点坐标．从而问题解决．
（2）先利用线段的长度表示出函数f（t），再利用导数研究函数的单调性，求出f（t）的导数，根据f′（t）＞0求得的区间是单调增区间，最后求出最大值即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在正整数n，使得A₀B₀=A_nB_n，再设A_nB_n为g（n），利用导数研究函数g（n）的单调性，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）证明：y=

x2

e

+ey′=

2x

e

由y′=

2x

e

=2得x=e（2分）
在C₁上点（e，2e）处的切线为y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）
又在C₂上点（e，2e）处切线可计算得y-2e=2（x-e），即y=2x
∴直线l与C₁、C₂都相切，且切于同一点（e，2e）（4分）
（2）f(t)=

t2

e

+e-2t-(2t-2elnt)=

t2

e

+2elnt-4t+ef′(t)=

2t

e

+2e

1

t

-4=

2t2+2e2-4et

et

=

2(t-e)2

et

≥0（6分）
∴f（t）在[e^-3，e³]上递增
∴当t=e³时f(t)max=

e6

e

+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e（8分）
（3）AnBn=

(en)2

e

+e-2elnen=

(e2)n

e

+e-2ne
设上式为g（n），假设n取正实数，则g′(n)=

(e2)n

e

•lne2-2e=

2(e2n-e2)

e

当n∈（0，1）时，g′（n）＜0，∴g（n）递减；
当n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）递增．（12分）
g(0)=A0B0=e+

1

e

g（1）=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e＞2e＞e+

1

e

∴不存在正整数n，使得g（m）=g（0）
即A_nB_n=A₀B₀．（14分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．