Question

11．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距离之和等于4．设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与曲线C交于A，B两点．
（1）写出曲线C的方程；
（2）是否存在k的值，使以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用椭圆的定义求得椭圆的方程；
（2）联立直线好椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，由AB为直径的圆过原点O，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此列式求得k的值．

解答 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）为焦点，长半轴为a=2的椭圆，
它的短半轴b=$\sqrt{4-3}$=1，
故曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）直线y=kx+1代入曲线C，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
△=（2k）²-4×（k²+4）×（-3）=16（k²+3）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+4}$．
由AB为直径的圆过原点O，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，得x₁x₂+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x₁x₂+y₁y₂=$\frac{-4{k}^{2}+1}{{k}^{2}+4}$=0，得k=±$\frac{1}{2}$．满足题意．

点评 本题考查了椭圆轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用转化为方程的根与系数关系解题，是压轴题．