Question

已知：f（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞）
（1）若b≥1，求证：函数f（x）在（0，1）上是减函数；
（2）是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列二个条件：
①在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数；
②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），所以只要证明b≥1时，对于x∈（0，1），f′（x）＜0即可；
（2）根据条件①知，方程f′（x）=0在（0，+∞）上有解，并且解为x=

b

，所以令b=1，便满足条件①了，再根据x=1时，f（x）取最小值3求出a即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

x2-b

x2

；
x∈（0，1）时，x²∈（0，1）；
∴若b≥1，则：
f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上是减函数；
（2）令f′（x）=0，若满足第一个条件，则该方程在（0，+∞）上有解；
并且解为x=

b

；
∴x∈(0，

b

)时，f′（x）＜0；x∈(

b

，+∞)时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，

b

）上是减函数，在(

b

，+∞)上是增函数；
∴令b=1，便得到f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，即满足①；
∴此时x=1时f（x）取到最小值

1+a+1

1

=3，a=1；
∴最后得到存在a=1，b=1使f（x）满足条件①②．

点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数在极值点处的导数为0，以及根据导数求函数最值的方法与过程．