Question

11．（1）求椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
（2）求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得a，b，c，即可得出；
（2）利用椭圆的定义可得：a，即可得出b²=a²-c²．

解答 解：（1）∵椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴a=2，b=1，c=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=4，2b=2，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
椭圆的四个顶点是A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（0，-1），B₂（0，1）．
（2）由焦距是4可得c=2，且焦点坐标为（0，-2），（0，2）．
由椭圆的定义知：2a=$\sqrt{{3}^{2}+（2+2）^{2}}$+$\sqrt{{3}^{2}+（2-2）^{2}}$=8，
∴a=4，b²=a²-c²=16-4=12．
又焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．