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19.已知函数f(x)=2asinx•cosx+2cos2x+1,$f(\frac{π}{6})=4$,
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)在$x∈[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$的值域.

分析 (1)由$f(\frac{π}{6})=4$利用已知及特殊角的三角函数值即可解得a的值.
(2)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+2,由$x∈[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$,可求2x+$\frac{π}{6}$的范围,利用正弦函数的图象和性质即可求得值域.

解答 (本小题满分12分)
$解:(1)由题意得:f(\frac{π}{6})=2asin\frac{π}{6}cos\frac{π}{6}+2{cos^2}\frac{π}{6}+1=4$,
可得:asin$\frac{π}{3}$+2+cos$\frac{π}{3}$=4,即$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+\frac{5}{2}=4$,…(2分)
解得:$a=\sqrt{3}$;
${∴_{\;}}a的值为\sqrt{3}$.…..(3分)
(2)由(1)得:$f(x)=2\sqrt{3}sinx•cosx+2{cos^2}x+1=\sqrt{3}sin2x+(cos2x+1)+1$…..(5分)
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin(2x+\frac{π}{6})+2$…(7分)
${∵_{\;}}x∈[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}],{∴_{\;}}2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3},\frac{2π}{3}]$,…..(8分)
令$z=2x+\frac{π}{6}$,则y=sinz在[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$]上为增函数,在[$\frac{π}{2}$,$\frac{2π}{3}$]上为减函数,…(10分)
${∴_{\;}}sin(2x+\frac{π}{6})∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2},1],则f(x)∈[2-\sqrt{3},4]$,即f(x)的值域为[2-$\sqrt{3}$,4].…(12分)

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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9.根据下面一组等式
S1=1,
S2=2+3=5,
S3=4+5+6=15,
S4=7+8+9+10=34,
S5=11+12+13+14+15=65,
S6=16+17+18+19+20+21=111,
S7=22+23+24+25+26+27+28=175,

可得S1+S3+S5+…+S2n-1=(  )
A.2n2B.n3C.2n3D.n4

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