Question

19．已知函数f（x）=2asinx•cosx+2cos²x+1，$f（\frac{π}{6}）=4$，
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）在$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）由$f（\frac{π}{6}）=4$利用已知及特殊角的三角函数值即可解得a的值．
（2）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，由$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，可求2x+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求得值域．

解答 （本小题满分12分）
$解：（1）由题意得：f（\frac{π}{6}）=2asin\frac{π}{6}cos\frac{π}{6}+2{cos^2}\frac{π}{6}+1=4$，
可得：asin$\frac{π}{3}$+2+cos$\frac{π}{3}$=4，即$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+\frac{5}{2}=4$，…（2分）
解得：$a=\sqrt{3}$；
${∴_{\;}}a的值为\sqrt{3}$．…..（3分）
（2）由（1）得：$f（x）=2\sqrt{3}sinx•cosx+2{cos^2}x+1=\sqrt{3}sin2x+（cos2x+1）+1$…..（5分）
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$…（7分）
${∵_{\;}}x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]，{∴_{\;}}2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，…..（8分）
令$z=2x+\frac{π}{6}$，则y=sinz在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上为减函数，…（10分）
${∴_{\;}}sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]，则f（x）∈[2-\sqrt{3}，4]$，即f（x）的值域为[2-$\sqrt{3}$，4]．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．