Question

如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2

34

，F是线段PB上一点，CF=

15

17

34

，点E在线段AB上，且EF⊥PB．
（1）证明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证PB垂直于面CEF，只需PB与面CEF内的两条相交直线垂直，利用勾股定理可证线线垂直；
（2）根据二面角的定义作出该二面角的平面角，然后通过解直角三角形求解．

解答： 解：（1）证明：∵PA²+AC²=36+64=100=PC²
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，
同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形，故PA⊥平面ABC．
又∵S△PBC=

1

2

|PC||BC|=

1

2

×10×6=30，
而

1

2

|PB||CF|=

1

2

×2

34

×

15 34

17

=30=S△PBC
故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，CF∩EF=F，
∴PB⊥平面CEF．
（2）解：由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．
在平面PAB内，过F作FG垂直AB点于G，则FG⊥平面ABC，EG是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC．
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角tan∠FEB=

1

tan∠PBA

=

AB

AP

=

10

6

=

5

3

，
即二面角B-CE-F的正切值为

5

3

．

点评：本题主要考查学生对二面角，直线与平面垂直的判定与性质等知识点的理解，重点考查转化与化归思想的应用．