Question

已知函数f(x)＝x³－ax－1
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明f(x)＝x³－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．

Answer 1

（1）a≤0（2）a≥3（3）见解析

(1)f′(x)＝3x²－a，由3x²－a≥0在R上恒成立，即a≤3x²在R上恒成立，易知当a≤0时，f(x)＝x³－ax－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由3x²－a<0在(－1,1)上恒成立，∴a>3x².但当x∈(－1,1)时，0<3x²<3，
∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)取x＝－1，得f(－1)＝a－2<a，即存在点(－1 ，a－2) 在f(x)＝x³－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方. ∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．