Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥0\\-x{e^x}，x＜0\end{array}\right.$，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．

解答 解：当x＜0时，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
当x＜-1时，f′（x）＞0，
当-1≤x＜0时，f′（x）≤0．
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）单调递减．
∴函数f（x）=-xe^x在（-∞，0）上有一个极大值为
f（-1）=$\frac{1}{e}$，作出函数f（x）的草图如图：
设m=f（x），当m＞$\frac{1}{e}$时，方程m=f（x）有1个解，
当m=$\frac{1}{e}$时，方程m=f（x）有2个解，
当0＜m＜$\frac{1}{e}$时，方程m=f（x）有3个解，
当m=0时，方程m=f（x），有1个解，
当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f²（x）+tf（x）+1=0等价为m²+tm+1=0，
要使关于x的方程f²（x）+tf（x）+1=0恰好有4个不相等的实数根，
等价为方程m²+tm+1=0有两个不同的根m₁＞$\frac{1}{e}$且0＜m₂＜$\frac{1}{e}$，
设g（m）=m²+tm+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=1＞0}\\{g（\frac{1}{e}）=\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{t}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，即t＜-e-$\frac{1}{e}$，
∴实数t的取值范围为：$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．
故答案为：$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键，是中档题．