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10.已知等比数列{an}的公比q>1.且2(an+an+2)=5an+1,n∈N*
(I)求q的值;
(Ⅱ)若a32=a10,求数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n项和Sn

分析 (I)利用等比数列的通项公式即可得出;
(II)a32=a10,可得${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{9}$,解得a1,可得an.再利用等比数列的前n项和公式即可得出.

解答 解:(I)∵2(an+an+2)=5an+1,n∈N*,∴$2{a}_{1}({q}^{n-1}+{q}^{n+1})$=5${a}_{1}{q}^{n}$,化为2q2-5q+2=0,q>1,解得q=2.
(II)a32=a10,∴${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{9}$,∴${a}_{1}={q}^{5}$=32.
∴${a}_{n}=32×{2}^{n-1}$=2n+4
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{2}^{n+4}}{{3}^{n}}$=16×$(\frac{2}{3})^{n}$
其前n项和Sn=16×$\frac{\frac{2}{3}[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=32$[1-(\frac{2}{3})^{n}]$.

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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