Question

6．已知函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且对任意非零实数x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），则（　　）

• A． f（1）=0且f（x）为偶函数
• B． f（-1）=0且f（x）为奇函数
• C． f（x）为增函数且为奇函数
• D． f（x）为增函数且为偶函数

Answer 1

分析 利用抽象函数的关系，通过赋值法求解判断即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且对任意非零实数x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），
x=y=1时，
可得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
x=y=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0
令y=-1，-x换x，
可得f（x）=f（-x）+f（-1）=f（-x）．
函数是偶函数．
故选：A．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数值的求法，考查计算能力．