Question

【题目】已知f（x）=（x2﹣3）ex（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（ ）
A.（﹣2e，0）
B.（﹣2e，0]
C.[﹣2e，6e﹣3]
D.（﹣2e，6e﹣3）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=（x2﹣3）ex的导数为 f′（x）=（x2+2x﹣3）ex=（x﹣1）（x+3）ex ，
当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得f（x）的极小值为f（1）=﹣2e，极大值为f（﹣3）=6e﹣3 ，
作出y=f（x）的图象，如图：
当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0
恰好有5个实数根，
即为f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5个实数根，
若t1＞6e﹣3 ， f（x）=t1只有一个实根，不合题意；
若0＜t1＜6e﹣3 ， f（x）=t1有三个实根，只要﹣2e＜t2≤0，满足题意；
若t1=6e﹣3 ， f（x）=t1有两个实根，只要0＜t2＜6e﹣3 ， 满足题意；
综上可得，t2的范围是（﹣2e，6e﹣3）．
故选：D．