Question

定义域为R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=2f（2），b=ln2•f（ln2），c=-f（-1），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A、a＞b＞c
• B、c＞b＞a
• C、a＞c＞b
• D、b＞c＞a

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），由于当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，可得当x∈（-∞，0）时，函数g（x）单调递减．由函数f（x）是定义域为R的奇函数，可得a=2f（2）=-2f（-2）=g（-2），b=-ln2•f（-ln2）=g（-ln2），c=-f（-1）=g（-1），即可得出．

解答： 解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴当x∈（-∞，0）时，函数g（x）单调递减．
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴a=2f（2）=-2f（-2）=g（-2），b=-ln2•f（-ln2）=g（-ln2），c=-f（-1）=g（-1），
又-2＜-1＜-ln2，
∴a＞c＞b．
故选：C．

点评：本题考查了构造函数利用导数研究函数的单调性，考查了函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．