Question

已知数列{a_n}中，an=1+

1

a+2(n-1)

(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
（1）若a=-7，求数列{a_n}中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的n∈N^*，都有a_n≤a₆成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(x)=1+

1

2x-9

在正数范围内的单调性，可得数列{a_n}的单调性是在两个区间内分别为减函数，n小于等于4时每一项都小于1且为减，n大于等于5时每一项都大于1且为减，故得大项为a₅=2，最小项为a₄=0；
（2）由已知条件知a₆为数列的最大项，化数列为an=1+

1 2

n- 2-a 2

的形式，再利用（1）中该数列列的单调性结论知5＜

2-a

2

＜6，可以得出a的取值范围是大于-10而小于-8．

解答：解：（1）∵an=1+

1

a+2(n-1)

(n∈N*，a∈R，且a≠0)
当a=-7时，∴an=1+

1

2n-9

(n∈N*)
结合函数f(x)=1+

1

2x-9

的单调性
可知：1＞a₁＞a₂＞a₃＞a₄；a₅＞a₆＞a₇＞…＞a_n＞1（n∈N^*）
∴{a_n}中的最大项为a₅=2，最小项为a₄=0
（2）an=1+

1

a+2(n-1)

=1+

1 2

n- 2-a 2

∵对任意的n∈N^*，都有a_n≤a₆成立，并结合函数f(x)=1+

1 2

x- 2-a 2

的单调性
∴5＜

2-a

2

＜6∴-10＜a＜-8

点评：本题主要考查了数列的函数特性和函数最值的应用，属于中档题．其中的思路是对该题中的数列表达式进行分离常数，再利用一次分式函数的单调性质，求函数在正数范围内的最值，从而得出所要求的最大最小项和参数的范围，问题迎刃而解．