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    已知函数f(x)=
    1-x
    ax
    +lnx    ．
    （1）当a=1时，求f(x)在[
    1
    2
    ，2]    上最大及最小值；
    （2）当1＜x＜2时，求证（x+1）lnx＞2（x-1）；
    （3）若函数g(x)=f(x)-
    x
    a
    在区间（1，2）上不单调
     
    ，求a的取值范围．
    分析：（1）把a=1代入原函数，求出其导函数，找到其在所给区间上的单调性求出极值，再与端点值比较即可求f(x)在[
    1
    2
    ，2]    上最大及最小值；
    （2）构造新函数F（x）=（x+1）ln-2（x-1），求出其导函数．利用（1）的结论求出新函数的极值（或最值）即可求证（x+1）lnx＞2（x-1）；
    （3）先求函数的导函数，把在区间（1，2）上不单调转化为导函数在区间（1，2）上有根且无重根即可求a的取值范围．
    解答：解：（I）当a=1时，f(x)=
    1
    x
    +lnx-1，f′(x)=-
    1
    x2
    +
    1
    x
    =
    x-1
    x2
    (x∈[
    1
    2
    ，2])
    令f'（x）=0得x=1.f′(x)＜0得
    1
    2
    ≤x＜1    ，f'（x）＞0，得1＜x≤2，
    ∴f(x)在[
    1
    2
    ，1]    上单调递减，在[1，2]上单调递增
    故fmin（x）=f（1）=0，最大值为f(
    1
    2
    )与f(2)    中的较大者（3分）
    ∵f(
    1
    2
    )=1-ln2，f(2)=ln2-
    1
    2
    .
    ∴f(2)-f(
    1
    2
    )=2ln2-
    3
    2
    =
    4ln2-3
    4
    =
    ln16-lne3
    2
    .

    易知e3＞16，∴f(2)＜f(
    1
    2
    )
    故fmax（x）=1-ln2（5分）

    （II）令F（x）=（x+1）ln-2（x-1）∴f′(x)=lnx+
    1
    x
    -1    ．
    由（I）知F'（x）在（1，2）上单调递增．∴F'（x）＞F'（1）=0．（7分）
    故F（x）在（1，2）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0．
    即（x+1）lnx＞2（x-1）（9分）

    （III）g(x)=f(x)-
    x
    a
    =
    1-x
    ax
    +lnx-
    x
    a
    ，
    g′(x)=-
    1
    ax2
    +
    1
    x
    -
    1
    a
    =-
    x2-ax+1
    ax2

    ∵g（x）在（1，2）上不单调∴x2-ax+1=0在（1，2）上有根且无重根（10分）
    即方程a=x+
    1
    x
    ，在（1，2）上有根，且无重根．
    ∴2＜a＜
    5
    2
    ．（12分）
    点评：本题的第一问考查了利用导数求闭区间上函数的最值．求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．
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    （1）、已知函数f(x)=
    1+
    		2
    cos(2x-
    π
    4
    )
    sin(x+
    π
    2
    )
    ．若角α在第一象限且cosα=
    3
    5
    ，求f(α)    ．
    （2）函数f(x)=2cos2x-2
    		3
    sinxcosx    的图象按向量
    m
    =(
    π
    6
    ，-1)    平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=(1-
    a
    x
    )ex    ，若同时满足条件：
    ①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
    ②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
    则实数a的取值范围是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1+lnx
    x
    ．
    （1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
    1
    2
    )    上存在极值，求实数a的取值范围；
    （2）当x≥1时，不等式f(x)≥
    k
    x+1
    恒成立，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1+
    1
    x
    ，(x＞1)
    x2+1，(-1≤x≤1)
    2x+3，(x＜-1)
    ．
    （1）求f(
    1
    		2
    -1
    )    与f（f（1））的值；
    （2）若f(a)=
    3
    2
    ，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
    1-m•2x1+m•2x
    ．
    （1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
    （2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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