Question

已知 f（θ）=a sinθ+b cosθ，θ∈[0，π]，且1与2cos ² 

θ

2

的等差中项大于1与 sin ² 

θ

2

的等比中项的平方．
求：（1）当a=4，b=3时，f（θ） 的最大值及相应的 θ 值；
（2）当a＞b＞0时，f（θ） 的值域．

Answer 1

分析：（1）由1与2cos ² 

θ

2

的等差中项大于1与 sin ² 

θ

2

的等比中项的平方．可解出θ∈[0，

π

3

]，（1）当a=4，b=3时，f（θ））=5sin（θ+α），（tanα=

3

4

），根据θ∈[0，

π

3

]，及α的取值范围进行判断即可得出f（θ） 的最大值及相应的 θ 值；
（2）由（1）f（θ）=5sin（θ+α），当a＞b＞0时，arctan

b

a

∈（0，

π

4

）判断出θ+α∈（0，

7

12

π），解出f（θ） 的值域．

解答：解：由题意

1+2cos  2 θ 2

2

＞sin ² 

θ

2

，即cosθ＞1-cosθ，∴cosθ＞

1

2

，∴2kπ-

π

3

≤θ≤2kπ+

π

3

，k∈z，又θ∈[0，π]，∴θ∈[0，

π

3

]，
（1）当a=4，b=3时，f（θ）=5sin（θ+α），（tanα=

3

4

），∵

3

3

＜

3

4

＜1，
∴

π

6

＜α＜

π

4

，∴

π

6

＜θ+α＜

π

4

+

π

3

=

7

12

π
故f（θ） 的最大值为5，此时有相应的有 θ+α=

π

2

，θ=

π

2

-α=

π

2

-arctan

3

4

 
（2）当a＞b＞0时，

b

a

∈(0，1)，故arctan

b

a

∈（0，

π

4

）故θ+α∈（0，

7

12

π），
∴f（θ）=5sin（θ+α）∈（0，5]
f（θ） 的值域是（0，5]

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合以及三角函数的最值，求解本题的关键是判断出角θ的范围及对f（θ）化简，然后再根据三角函数的性质判断出最值及值域．