Question

定义：对于定义域D内的任意两个x₁，x₂（x₁≠x₂）都存在常数k，使得|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，则称f（x）在D上为“谐函数”，若f（x）=

x

在（4，+∞）上为“谐函数”，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据谐函数的定义得到k满足不等式：k＞

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

，化简后再由x₁，x₂的范围求出

1

x1 + x2

的范围，再求出k的范围．

解答： 解：因为f（x）=

x

在（4，+∞）上为“谐函数”，
所以在（4，+∞）上任意两个x₁，x₂（x₁≠x₂）都存在常数k，使得|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，
不妨设x₁＞x₂，则k＞

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=

x1 - x2

x1-x2

=

1

x1 + x2

，
因为x₁＞x₂＞4，所以

x1

+

x2

＞4，
则0＜

1

x1 + x2

＜

1

4

，
所以实数k的取值范围为k≥

1

4

，
故答案为：[

1

4

，+∞)．

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，在能力上主要考查对新信息的理解力；及分离参数利用不等式求最值的方法．