Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

解：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
将代入椭圆E的方程，得
解得，所以椭圆E的方程为．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，
∴直线l的方程为．
由得x²+2bx+2b²-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则．
又，，
故=．
又，
所以上式分子=
=
故k₁+k₂=0．
分析：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把点M、N的坐标代入解出即可；
（2）利用斜截式写出直线l的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，表示出直线MA与MB的斜率分别为k₁、k₂，即可证明：k₁+k₂=0．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键．本题需要较强的计算能力．