Question

设函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底）．
（1）求函数F（x）=h（x）-φ（x）的极值；
（2）若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．试问：函数h（x）和φ（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数，对函数求导，使得导函数等于0，验证可能的极值点两侧导函数的符合相反，得到函数存在极值．
（2）由题意知若存在隔离直线，则对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，两个函数的图象有公共点，设出直线的方程，根据函数的恒成立得到k的值，求出函数的极大值，得到结论．

解答：解：（1）∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴F′(x)=

2(x- e )(x+ e )

x

当x=

e

时，F^′（x）=0，当0＜x＜

e

时，F^′（x）＜0，当x＞

e

时，F^′（x）＜0
∴F（x）在

e

处取得极小值0．
（2）由（1）知当x＞0时，h（x）≥φ（x），
若存在隔离直线，则对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，
∵两个函数的图象有公共点，
∴隔离直线必过（

e

，e）
设直线的方程是y-e=k（x-

e

）
∴h（x）≥kx+e-k

e

恒成立，
∴△≤0
∴k=2

e

令G（x）=φ（x）-2

e

x+e
对函数求导有当x＞

e

时，F^′（x）＜0，当0＜x＜

e

时，F^′（x）＜0
∴当x=

e

时有G（x）的极大值 为0，也就是最大值为0．
从而G（x）≤0，即?(x)≤2

e

x-e，(x＞0) 恒成立．
故函数h（x） 和φ（x） 存在唯一的“隔离直线”y=2

e

x-e．

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的极值，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．