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精英家教网如图,在南北方向有一条公路,一半径为100m的圆形广场(圆心为O)与此公路一边所在直线l相切于点A.点P为北半圆弧(弧APB)上的一点,过P作直线l的垂线,垂足为Q.计划在△PAQ内(图中阴影部分)进行绿化.设△PAQ的面积为S(单位:m2).
(1)设∠BOP=α(rad),将S表示为α的函数;
(2)确定点P的位置,使绿化面积最大,并求出最大面积.
分析:(1)若∠BOP=α,则P点坐标(x,y)中,x=AQ=100sinα,y=PQ=100+100cosα,α∈(0,π),根据三角形面积公式,我们易将S表示为α的函数.
(2)由(1)中结论,我们可利用导数法,判断函数的单调性,进而求出函数的最大值,即最大绿化面积.
解答:解:(1)AQ=100sinα,PQ=100+100cosα,α∈(0,π),
则△PAQ的面积S=
1
2
AQ•PQ=
1
2
×100sinα×(100+100cosα)

=5000(sinα+sinαcosα),(0<α<π).
(2)S/=5000(cosα+cos2α-sin2α)
=5000(2cos2α+cosα-1)
=5000(2cosα-1)(cosα+1),
S/=0,得cosα=
1
2
,cosα=-1(舍去),此时α=
π
3

0<α<
π
3
时,
1
2
<cosα<1,S/>0,S
关于α为增函数;
π
3
<α<π时,-1<cosα<
1
2
S/<0,S
关于α为减函数.
∴当α=
π
3
时,Smax=3750
3
(m2),此时PQ=150m.
答:当点P距公路边界l为150m时,绿化面积最大,Smax=3750
3
m2.
点评:本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数的模型,及利用导数计算,闭区间上函数的最值.在构造函数时,一定要根据P为北半圆弧(弧APB)上的一点,限制0<α<π,这是本题中易忽略的点.
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(1)设∠BOP=α(rad),将S表示为α的函数;
(2)确定点P的位置,使绿化面积最大,并求出最大面积.

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