Question

如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场（圆心为O）与此公路一边所在直线l相切于点A．点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过P作直线l的垂线，垂足为Q．计划在△PAQ内（图中阴影部分）进行绿化．设△PAQ的面积为S（单位：m²）．
（1）设∠BOP=α（rad），将S表示为α的函数；
（2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

分析：（1）若∠BOP=α，则P点坐标（x，y）中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈（0，π），根据三角形面积公式，我们易将S表示为α的函数．
（2）由（1）中结论，我们可利用导数法，判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，即最大绿化面积．

解答：解：（1）AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈（0，π），
则△PAQ的面积S=

1

2

AQ•PQ=

1

2

×100sinα×(100+100cosα)
=5000（sinα+sinαcosα），（0＜α＜π）．
（2）S^/=5000（cosα+cos²α-sin²α）
=5000（2cos²α+cosα-1）
=5000（2cosα-1）（cosα+1），
令S/=0，得cosα=

1

2

，cosα=-1（舍去），此时α=

π

3

．
当0＜α＜

π

3

时，

1

2

＜cosα＜1，S/＞0，S关于α为增函数；
当

π

3

＜α＜π时，-1＜cosα＜

1

2

，S/＜0，S关于α为减函数．
∴当α=

π

3

时，Smax=3750

3

（m²），此时PQ=150m．
答：当点P距公路边界l为150m时，绿化面积最大，Smax=3750

3

m2.

点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数的模型，及利用导数计算，闭区间上函数的最值．在构造函数时，一定要根据P为北半圆弧（弧APB）上的一点，限制0＜α＜π，这是本题中易忽略的点．