Question

记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7}，a_i（i=1，2，3，4）是T中可重复选取的元素．
（1）若将集合M={a₁×8³+a₂×8²+a₃×8+a₄|a_i∈T，i=1，2，3，4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a_i（i=1，2，3，4）的值；
（2）若将集合N={

a1

8

+

a2

82

+

a3

83

+

a4

84

|a_i∈T，i=1，2，3，4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a_i（i=1，2，3，4）的值．

Answer 1

分析：（1）要将集合M={a₁×8³+a₂×8²+a₃×8+a₄|a_i∈T，i=1，2，3，4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a_i，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，关键是要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．
（2）要将集合N={

a1

8

+

a2

82

+

a3

83

+

a4

84

|a_i∈T，i=1，2，3，4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a_i，首先要搞清楚，N集合中元素的特征，同样要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．

解答：解：（1）记a₁×8³+a₂×8²+a₃×8+a₄=

.

a1a2a3a4

，
它表示一个8进制数；
M中最小值为

.

0

，第2008个数在十进制数中为2007，
将2007化为8进制数即为

.

3727

，
所以a₁=3，a₂=7，a₃=2，a₄=7．
（2）因为

a1

8

+

a2

82

+

a3

83

+

a4

84

=

1

84

（a₁×8³+a₂×8²+a₃×8+a₄），
括号内表示的8进制数，其最大值为

.

7777

；
∵

.

7777

=4095，从大到小排列，第2008个数为
4095-2008+1=2088
因为2008=

.

4050

，所以a₁=4，a₂=0，a₃=5，a₄=0

点评：对八进制或其它进制数排序，其方法与十进制的排序一样，关键是要找到对应的数是几，如果从小到大排序，要找到最小数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数，再将它转化为八进制或其它进制．如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数，再将它转化为八进制或其它进制．