Question

给出下列命题：
①已知椭圆=1两焦点F₁，F₂，则椭圆上存在六个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20%和18%，两地同时下雨的概率为12%，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60%．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③④
B．①②③
C．③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：①判断过焦点和短轴短点的三角形的性质即可．②根据直线与抛物线的位置关系判断．③利用直线与双曲线的位置关系判断．④根据条件概率的定义判断．
解答：解：①椭圆的方程可知a=4，b=，c=2，则焦点和短轴短点的三角形的角为θ，
则，则，所以，所以此时存在2个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形，当，则当F₁M⊥F₂F₁，或F₂M⊥F₂F₁，时，此时对应的M有四个，所以总共6个M，所以①正确．
②抛物线的标准方程为，所以2p=，根据抛物线的性质可知，过焦点的直线和抛物线相交，通径最最小，所以|AB|的最小值为，所以②错误．
③双曲线的渐进性方程为，不妨取bx-ay=0，焦点为（c，0），所以根据点到直线的距离公式得
d=，所以|OM|=，所以③正确．
④设一年中荆门下雨记为事件A，襄阳下雨记为事件B，则两市同时下雨记为事件AB，
所以p（A）=20%，p（B）=18%，p（AB）=12%，
则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率为，所以④正确．
故选A．
点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．