Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两焦点分别为F₁、F₂，点P是以F₁F₂为直径的圆与椭圆的交点，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则椭圆离心率为（　　）

Answer 1

分析：根据题意可知∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，进而求得∠PF₁F₂和∠PF₂F₁，在Rt△PF₁F₂分别表示出|PF₁|和|PF₂|，根据椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|，进而求得a和c的关系，从而求出椭圆的离心率．

解答：解：∵点P是以F₁F₂为直径的圆与椭圆的交点，
∴∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°
在直角三角形F₁PF₂中，|PF₁|=|F₁F₂|sin∠PF₂F₁=2c•sin75°，|PF₂|=|F₁F₂|sin∠PF₁F₂=2c•sin15°，
∵2a=|PF₁|+|PF₂|
∴2a=2c•sin75°+2c•sin15°=4csin45°cos30°=

6

c
∴e=

c

a

=

2

6

=

6

3

故选A．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率的关键是找出a和c的关系．