Question

【题目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1 ， ∠A1AB=∠A1AD=60°．

（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；
（2）若BD= D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，

所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，

于是A1B=A1D

设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD

又ABCD是菱形，所以AC⊥BD

而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC

而BD平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC

（2）解：由A1B=A1D及 ，知A1B⊥A1D

又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°

于是 ，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD

得A1O⊥底面ABCD

如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），

，

设平面B1BD的一个法向量为 ，由 得 ，

令x=1，得

平面A1BD的一个法向量为 ，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，

则

解得θ=45°，

故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．

【解析】（1）推导出△A1AB和△A1AD均为正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A1BD⊥平面A1AC．（2）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．