Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得2a=2×2b，，再由c²=a²-b²可解得a，b；
（2）设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，得，变形后代入韦达定理可求出k值，由△＞0 得m的范围，利用三角形面积公式表示出面积，根据m的范围可得答案；
解答：解析：（1）由已知得解得，
所以椭圆C的方程：；
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），
联立 消去y并整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
此时设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则，，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，
∴=k²⇒-=0，
由m≠0得：⇒k=．
又由△＞0 得：0＜m²＜2，显然m²≠1（否则：x₁x₂=0，则x₁，x₂中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾！）
设原点O到直线l的距离为d，则
×=|m|=，
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查三角形的面积公式，考查学生分析解决问题的能力．