分析 (1)当直线m的斜率为$\frac{1}{2}$时,其方程为x=2y-4,联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$,得2y2-(8+p)y+8=0,由此利用根的判别式、韦达定理能,结合已知条件能求出抛物线G的方程.
(2)设直线m的方程为y=k(x+4),由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x+4)}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$,得x2-4kx-16k=0,由此利用韦达定理、根的判别式,结合已知条件能求出点M的轨迹方程.
解答 解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由题意知y1>0,y2>0,
由题意知当直线m的斜率为$\frac{1}{2}$时,其方程为y=$\frac{1}{2}$(x+4),即x=2y-4,
又∵$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AB}$,∴y2=4y1,
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$,消去x,得2y2-(8+p)y+8=0,
∴△=(8+p)2-64=p2+16p>0,且y1+y2=$\frac{8+p}{2}$,y1y2=4,
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=4{y}_{1}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{8+p}{2}}\end{array}\right.$,解得p=2,
∴抛物线G的方程为x2=4y.
(2)当直线m垂直于x轴时,其与抛物线只有一个公共点,不符合题意,
∴直线m的方程可以设为y=k(x+4),
设B,C中点M(x,y),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x+4)}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$,消去y,得x2=4k(x+4),
即x2-4kx-16k=0,
由△=16k2+64k>0,解得k>0,或k<-4,且x1+x2=4k,
∴y1+y2=k(x1+x2+8)=4k2+8k,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=2{k}^{2}+4k}\end{array}\right.$,消去k,得点M的轨迹方程:y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$,
∵k>0,或k<-4,∴x>0或x<-8.
∴点M的轨迹方程为:$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$(x>0或x<-8).
点评 本题考查抛物方程的求法,考查点的轨迹方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意韦达定理、根的判别式、抛物线性质的合理运用.
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A. | 8π | B. | $\frac{25}{2}$π | C. | 12π | D. | $\frac{41}{4}$π |
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A. | 2+$\sqrt{2}+\sqrt{6}$ | B. | 4+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$ | C. | 2+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$ | D. | 4+4$\sqrt{2}$ |
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