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【题目】如图,已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ= ,且 |,则双曲线C的离心率为(
A.
B.
C.
D.

【答案】D
【解析】解:∵∠PAQ= ,AP=AQ, ∴△PAQ是等边三角形,
设圆A的半径为r,
过A作AB⊥PQ,垂足为B,则B为PQ的中点,
∴PB= r,AB= r,
∵OQ=3OP,∴OB=2OP=r,
∴tan∠AOB= =
又渐近线方程为y=
= ,即b= a,
∴e= = =
解法二:由于双曲线的离心率e>1,排除A,B,C,
故选D.

过A作AB⊥PQ,设圆A半径为r,三角形APQ是等边三角形,用r表示出OB,AB计算渐近线的斜率,从而得出a,b的关系得出离心率.

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A.2
B.1
C.
D.

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