【题目】已知函数,存在,使得函数在区间上有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
f′(x)=aex﹣lnx﹣1,根据存在n∈N,使得函数f(x)在区间(n,n+2)上有两个极值点,可得方程f′(x)=0必有两个不等根,等价于a在区间(n,n+2)上有两个不等根,等价于函数y=a与g(x)在区间(n,n+2)上有两个不同的交点.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
f′(x)=aex﹣lnx﹣1,∵存在n∈N,使得函数f(x)在区间(n,n+2)上有两个极值点,
∴方程f′(x)=0必有两个不等根,等价于a在区间(n,n+2)上有两个不等根,
等价于函数y=a与g(x)在区间(n,n+2)上有两个不同的交点.
g′(x),
令h(x)=1﹣x(lnx+1),h′(x)=﹣(lnx+2).
可得x∈(0,e﹣2)时,h′(x)>0;x∈(e﹣2,+∞)时,h′(x)<0.
∴x=e﹣2时,函数h(x)取得极大值h(e﹣2)=1+e﹣2.
又h(1)=0,x→0+时,h(x)→1.
∴取n=0,区间为(0,2).
g′(1)=0.
x∈(0,1)时,函数g(x)单调递增;x∈(1,2)时,函数g(x)单调递减.
∴x=1时,函数g(x)取得极大值即最大值,g(1).
x→0+时,g(x)→﹣∞;x=2时,g(2).
∴实数a的取值范围是.
故选:B.
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【题目】从4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者,参加某项服务工作.
(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率;
(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖,另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.
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【题目】已知椭圆的短轴长为4,离心率为,斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线l是否过定点,如果过定点,求出该定点的坐标;如果不过定点,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=﹣1和x=3处取得极值,试求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[﹣2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.
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【题目】如图,在空间直角坐标系O﹣xyz中,已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6,底面正方形ABCD的中心在坐标原点,棱AD,BC平行于x轴,AB,CD平行于y轴,顶点P在z轴的正半轴上,点M,N分别在线段PA,BD上,且.
(1)求直线MN与PC所成角的大小;
(2)求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值.
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【题目】某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元,每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测:甲项目的收益与投入满足,乙项目的收益与投入满足.设甲项目的投入为.
(1)求两个项目的总收益关于的函数.
(2)如何安排甲、乙两个项目的投资,才能使总收益最大?最大总收益为多少?(注:收益与投入的单位都为“万元”)
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, , , , 与均为等边三角形,点为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)试问在线段上是否存在点,使二面角的余弦值为,若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:,直线l:.
当时,若圆C与直线l交于A,B两点,过点A,B分别作l的垂线与y轴交于D,E两点,求的值;
过直线l上的任意一点P作圆的切线为切点,若平面上总存在定点N,使得,求圆心C的横坐标的取值范围.
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