Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₄=10，数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，其中n∈N*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合题意列出方程求出首项、公差，代入通项公式；
（II）由（I）和条件求出b_n，再代入a_nb_n及T_n，利用错位相减法求出T_n．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=2，得a₁+d=2，①
由S₄=10，得4a1+

4×3

2

×d=10，②
由①和②解方程，得a₁=1，d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n．
（II）由（I）得，a_n=n=log₂b_n，
∴bn=2n，a_nb_n=n•2ⁿ，
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=2+2×22+3×23+…+n×2n，①
则2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，②
由①-②得，-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1，
∴Tn=(n-1)×2n+1+2，
∴数列{a_nb_n}的前n项和Tn=(n-1)×2n+1+2．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及对数的运算，错位相减法求数列的前n项和公式，属于中档题．