Question

设函数f（x）=

0，                   x=0 xln|x|+mx2，x≠0

，其中实数m为常数．
（Ⅰ）求证：m=0是函数f（x）为奇函数的充要条件；
（Ⅱ） 已知函数f（x）为奇函数，当x，y∈[0，e]时，求表达式z=yf（x）+xf（y）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m的取值应使得任意x≠0，恒有f（-x）=-f（ x），可以将m=0代入后从充分、必要两个方面验证．或利用函数恒成立求出m的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）当xy=0时，z=yf（x）+xf（y）=0，当x，y∈（0，e]时，z=yf（x）+xf（y）=yxlnx+xylny=xyln（xy）=f（xy），设t=xy∈（0，e²]，换元后z=f（t）=tlnt，利用函数与导数的关系求解．

解答：（Ⅰ）证明：证法一：充分性：若m=0，则f（x）=

0，          x=0 xln|x|，  x≠0

．…（1分）
①f（-0）=-f（0）=0；…（2分）
②当x≠0时，
f（-x）=（-x）ln|-x|=-xln|x|=-f（x）．∴函数f（x）为奇函数．…（3分）
必要性：若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（ x）恒成立，
①当x=0时，易知成立，
②当x≠0时，f（-x）=（-x）ln|-x|+m（-x）²，f（x）=xln|x|+mx²，
∴m（-x）²=-mx²，2mx²=0，m=0．
故m=0是函数f（x）为奇函数的充要条件．…（6分）
（Ⅰ）证法二：因为f（-0）=-f（0）=0，所以函数f（x）为奇函数的充要条件是?x≠0，f（-x）=-f（x）??x≠0，（-x）ln|-x|+m（-x）²=-xln|x|-mx²??x≠0，2mx²=0?m=0．
故m=0是函数f（x）为奇函数的充要条件．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，则f（x）=

0，          x=0 xln|x|，  x≠0

，
①当xy=0时，z=yf（x）+xf（y）=0．…（7分）
②当x，y∈（0，e]时，z=yf（x）+xf（y）=yxlnx+xylny=xyln（xy）=f（xy），…（8分）
设t=xy∈（0，e²]，z=f（t）=tlnt，f'（t）=lnt+1．…（9分）
f（t），f'（t）随t的变换而变化的情况如下：

t	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，e2]
f'（t）	-	0	+
f（t）	单调递减	极小值	单调递增

…（10分）
f（t）的极小值，也为最小值f(

1

e

)=-

1

e

＜0，（11分）
所以zmin=-

1

e

．…（12分）

点评：本题考查函数奇偶性的判断，函数恒成立参数求解，分段函数．利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，属于中档、常规题．涉及到了换元、分类讨论的思想方法．