Question

20．给出下列命题：
①函数f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一个对称中心为（-$\frac{5π}{12}$，0）
②已知函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．
其中所有真命题的序号有①②．

Answer 1

分析 由余弦函数的对称性，即可判断①；运用正弦和余弦函数的周期性和新定义，即可得到所求值域，进而判断②；可通过举反例，α=$\frac{13π}{6}$，β=$\frac{π}{6}$，即可判断③．

解答 解：对于①，由f（-$\frac{5π}{12}$）=4cos（-$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=4cos（-$\frac{π}{2}$）=0，
则f（x）的一个对称中心为（-$\frac{5π}{12}$，0），故①对；
对于②，函数f（x）=min{sinx，cosx}=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≤cosx}\\{cosx，sinx＞cosx}\end{array}\right.$，考虑x∈[0，2π]，
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{5π}{4}$，2π]时，sinx≤cosx，f（x）∈[-1，0]∪[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]时，sinx≥cosx，f（x）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
即有函数f（x）的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．故②对；
对于③，若α，β均为第一象限角，且α＞β，比如α=$\frac{13π}{6}$，β=$\frac{π}{6}$，则sinα=sinβ，故③错．
故答案为：①②．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，主要考查对称性和周期性、单调性和值域的求法，属于中档题和易错题．