Question

给出下列命题：
①y=tanx在定义域上单调递增；   
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；   
③f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，若θ∈(0，

π

4

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）； 
④函数y=lg（sinx+

sin2x+1

）有无奇偶性不能确定． 
⑤函数y=4sin（2x-

π

3

）的一个对称中心是（

π

6

，0）； 
⑥方程tanx=sinx在(-

π

2

，

π

2

)上有3个解；
其中真命题的序号为

②③⑤⑥

．

Answer 1

分析：由正切函数的单调性，可以判断①真假；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可以判断②的真假；根据函数奇偶性与单调性的综合应用，可以判断③的真假；根据函数奇偶性的定义，及对数的运算性质，可判断④的真假．根据正弦型函数的对称性，我们可以判断⑤的真假．对于⑥：要求一个函数零点，只要使得这个函数等于0，把其中一个移项，得到两个基本初等函数，在规定的范围中画出函数的图象，看出交点的个数．

解答：解：由正切函数的单调性可得①“y=tanx在定义域上单调递增”为假命题；
若锐角α、β满足cosα＞sinβ，即sin（

π

2

-α）＞sinβ，即

π

2

-α＞β，则α+β＜

π

2

，故②为真命题；
若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，则函数在[0，1]上为减函数，若θ∈（0，

π

4

），则0＜sinθ＜cosθ＜1，则f（sinθ）＞f（cosθ），故③为真命题；
函数y=f（x）=lg（sinx+

sin2x+1

）的定义域为R，且f（-x）=lg[sin（-x）+

sin2(-x)+1

）=lg（-sinx+

sin2x+1

），此时f（x）+f（-x）=0，则函数y=lg（sinx+

sin2x+1

）为奇函数，故④错误；
由函数y=4sin（2x-

π

3

）的对称性可得（

π

6

，0）是函数的一个对称中心，故⑤为真命题；
∵f（x）=sinx-tanx=0，∴sinx=tanx，只要看出两个曲线在区间（-

π

2

，

π

2

）上的交点个数就可以，
根据正弦曲线和正切曲线，都是奇函数，且（0，

π

2

）时sinx＜tanx，即1个零点．故⑥正确．
故答案为：②③⑤⑥．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的性质，偶函数，正弦函数的对称性，是对函数性质的综合考查，熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键．