Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为AA₁的中点，N为A₁B₁上的点，且满足A₁N=NB₁，P为底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心.求证：MN⊥MC，MP⊥B₁C.

Answer 1

证明略

 设=a，=b，=c

则a、b、c两两垂直且模相等.
∴a·b=b·c=a·c=0，
又∵=NB₁
∴==b，
=+=a+b,
=++=-a+b+c,
∴·=（a+b）·（b+c-a）
=- =0.
∴MN⊥MC，
又=+ =+（b+c）=（a+b+c），
=+=-a+c.
∴·=（a+b+c）（c-a）=0.∴MP⊥B₁C.