Question

7．已知双曲线x²-y²=4，直线l：y=k（x-1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：
（1）直线l与双曲线有两个公共点，
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．

Answer 1

分析 将直线方程代入双曲线方程，化为关于x的方程，利用方程根的判别式，即可求得k的取值范围．
（1）由1-k²≠0，且△＞0，解得即可；（2）1-k²=0或1-k²≠0，且△=0，解得即可．

解答 解：联立直线y=k（x-1）和双曲线：x²-y²=4，消去y得，（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
判别式△=4k⁴+4（1-k²）（k²+4）=4（4-3k²）．
（1）1-k²≠0，且△＞0，解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$且k≠±1，
则k的取值范围是：（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-1）∪（-1，1）∪（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（2）1-k²=0或1-k²≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则k的取值范围是k=±1，或k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是将问题转化为方程根的问题，运用判别式解决，注意只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况，属于易错题．