【题目】(1)有物理、化学、生物三个学科竞赛各设冠军一名,现有人参赛可报任意学科并且所报学科数不限,则最终决出冠军的结果共有多少种可能?
(2)有共个数,从中取个数排成一个五位数,要求奇数位上只能是奇数,则共可排成多少个五位数?
(3)有共个数,从中取个数排成一个五位数,要求奇数只在奇数位上,则共可排成多少个五位数?
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆: 的离心率为,直线交椭圆于、两点,椭圆的右顶点为,且满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于不同两点、,且定点满足,求实数的取值范围.
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【题目】函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时, ,所以去掉A,B;
因为,所以,因此去掉C,选D.
点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧:(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.(2)由实际情景探究函数图象.关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知三个内角所对的边分别是,若.
(1)求角;
(2)若的外接圆半径为2,求周长的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)由正弦定理将边角关系化为边的关系,再根据余弦定理求角,(2)先根据正弦定理求边,用角表示周长,根据两角和正弦公式以及配角公式化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求最大值.
试题解析:(1)由正弦定理得,
∴,∴,即
因为,则.
(2)由正弦定理
∴, , ,
∴周长
∵,∴
∴当即时
∴当时, 周长的最大值为.
【题型】解答题
【结束】
18
【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
其中: , ,
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(的值精确到0.01)
(3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06~1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12~1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
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【题目】已知函数,曲线在处的切线经过点.
(1)证明: ;
(2)若当时, ,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得切线斜率为,再根据切线过点,解得导数可得导函数零点,列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性,根据函数单调性可得函数最小值为0,即得结论,(2)先化简不等式为,分离得,再利用导数求函数单调性,利用罗伯特法则求最大值,即得的取值范围.
试题解析:(1)曲线在处的切线为,即
由题意得,解得
所以
从而
因为当时, ,当时, .
所以在区间上是减函数,区间上是增函数,
从而.
(2)由题意知,当时, ,所以
从而当时, ,
由题意知,即,其中
设,其中
设,即,其中
则,其中
(1)当时,因为时, ,所以是增函数
从而当时, ,
所以是增函数,从而.
故当时符合题意.
(2)当时,因为时, ,
所以在区间上是减函数
从而当时,
所以在上是减函数,从而
故当时不符合题意.
(3)当时,因为时, ,所以是减函数
从而当时,
所以是减函数,从而
故当时不符合题意
综上的取值范围是.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】在直角坐标坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线: .以为极点, 轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线()与曲线的异于极点的交点为,与曲线的交点为,求.
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【题目】已知椭圆的离心率为,长轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是以长轴为直径的圆上一点,圆在点处的切线交直线于点,求证:过点且垂直于直线的直线过椭圆的右焦点.
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【题目】已知函数的部分图象如图所示,则下列判断正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小正周期为
D. 当时,函数的图象与直线围成的封闭图形面积为
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【题目】设点是所在平面内一点,下列说法正确的是( )
A.若,则的形状为等边三角形
B.若,则点是边的中点
C.过任作一条直线,再分别过顶点作的垂线,垂足分别为,若恒成立,则点是的垂心
D.若则点在边的延长线上
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【题目】对数函数g(x)=1ogax(a>0,a≠1)和指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数.已知函数f(x)=3x,其反函数为y=g(x).
(Ⅰ)若函数g(kx2+2x+1)的定义域为R,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)若0<x1<x2且|g(x1)|=|g(x2)|,求4x1+x2的最小值;
(Ⅲ)定义在I上的函数F(x),如果满足:对任意x∈I,总存在常数M>0,都有-M≤F(x)≤M成立,则称函数F(x)是I上的有界函数,其中M为函数F(x)的上界.若函数h(x)=,当m≠0时,探求函数h(x)在x∈[0,1]上是否存在上界M,若存在,求出M的取值范围,若不存在,请说明理由.
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