Question

10．已知全集U=R，集合A={x|0＜log₂x＜2}，B={x|x≤3m-4或x≥8+m}（m＜6）．
（1）若m=2，求A∩（∁_UB）；
（2）若A∩（∁_UB）=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=2时，求出集合B，根据补集与交集的定义计算即可；
（2）求出∁_UB，讨论∁_UB=∅和∁_UB≠∅时，对应实数m的取值范围．

解答 解：全集U=R，集合A={x|0＜log₂x＜2}={x|1＜x＜4}，
B={x|x≤3m-4或x≥8+m}（m＜6）；
（1）当m=2时，B={x|x≤2或x≥10}，
∴∁_UB={x|2＜x＜10}，
A∩（∁_UB）={x|2＜x＜4}；
（2）∁_UB={x|3m-4＜x＜8+m}，
当∁_UB=∅时，3m-4≥8+m，解得m≥6，不合题意，舍去；
当∁_UB≠∅时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{m＜6}\\{3m-4≤1}\\{8+m≥4}\end{array}\right.$，
解得-4≤m≤$\frac{5}{3}$，
∴实数m的取值范围是-4≤m≤$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了集合的定义与应用问题，是综合性题目．