Question

（1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
满足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；     （Ⅱ）求证：

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

≥2．
（2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2tcosθ y=2sinθ

（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-

π

4

)=2

2

．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且

OA

•

OB

=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）解法一，利用绝对值的几何意义，化简函数，即可求m的值；
解法二：利用绝对值的性质，可得结论；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明；
（2）（Ⅰ）消去参数θ，可得普通方程；
（Ⅱ）直线与切线方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，可求实数t的值．

解答：（1）（Ⅰ）解法一：f(x)=|x-2|+|x-4|=

2x-6(x≥4) 2(2＜x＜4) -2x+6(x≤2)

，可得函数的最小值为2．故m=2．
法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m=2．
（Ⅱ）证明：∵[(

n2

a

)2+(

p2

b

)2+(

q2

c

)2]•(a2+b2+c2)≥(

n2

a

•a+

p2

b

•b+

q2

c

•c)2
∴(

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

)×2≥（n²+p²+q²）²=4，故

n4

a2

+

p4

b2

+

q4

c2

≥2．
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：

x2

t2

+y2=4．…1分
①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；  …2分
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…3分
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…4分
联立直线与曲线的方程，消y得

x2

t2

+(x+4)2=4，化简得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3．
又x1+x2=-

8t2

1+t2

，x1x2=

12t2

1+t2

，…6分
故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3与t²＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…7分．

点评：本题考查柯西不等式的运用，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．