Question

已知函数f（x）=x+alnx
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=3处取极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=3处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是3，从而得以解决．
（Ⅱ）由已知得x＞0，且f′（x）=

x+a

x

，对a讨论，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=1+

a

x

，
∴f′（3）=0⇒

a

3

+1=0，∴a=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=x+alnx，且f′（x）=

x+a

x

，
∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没有减区间；
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

则函数的增区间是（-a，+∞），减区间是（0，-a）．

点评：本题考查函数的对数的运用：求单调区间和求极值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．