Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），又数列{

an+λ

2n

}为等差数列．
（1）求实数λ的值及{a_n}的通项公式a_n
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n（最后结果请化成最简式）

Answer 1

分析：（1）由{

an+λ

2n

}为等差数列可得，n≥2，

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

为常数，从而可求λ，及通项
（2）利用错位相减及分组求和的方法求和即可

解答：解：（1）n≥2，

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

因为为等差数列  所以1-

1+λ

2n

为常数，所以λ=-1----（4分）
n≥2，

an+1

2n

-

an-1+1

2n-1

=1且

a1+1

21

=1，得

an+1

2n

=n，
所以a_n=n×2ⁿ-1-------------------（7分）
（2）S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-n
记 T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ2T_n
=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹
得T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2------------------（12分）
所以S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-n-----------------（14分）

点评：本题主要考查了等差数列的定义的应用，及乘公比错误相减得求和方法在解题中的应用，属于基本方法的综合应用．