Question

已知函数f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函数y=f（sinx）在区间（-∞，+∞）上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

Answer 1

分析：（1）通过换元利用正弦函数的单调性、二次函数的单调性、零点的判定定理即可得出；
（2）通过分类讨论t与8的大小关系并利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）令t=sinx，则y=f（sinx）化为二次函数f（t）=t²-16t+q+3，其对称轴是t=8．
∴函数f（t）=t²-16t+q+3在区间[-1，1]上单调递减，
∴要函数f（t）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）f（1）≤0，
即 （1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0，解得-20≤q≤12．
（2）①当

t＜8 8-t≥10-8 t≥0

时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q-61，t²-16t+q+3]．
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t，
化为t²-15t+52=0，解得t=

15± 17

2

，经检验t=

15+ 17

2

不合题意舍去，t=

15- 17

2

满足题意．
②当

t＜8 8-t＜10-8 t≥0

时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q-61，q-57]，
∴q-57-（q-61）=4=12-t，解得t=8．
经检验t=8不合题意，舍去．
③当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t²-16t+q+3，q-57]．
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-t²+16t-60=12-t，
∴t²-17t+72=0，解得t=8或9．
经检验t=8，9满足题意．
所以存在常数t=8，9，

15- 17

2

（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

点评：熟练掌握换元法、正弦函数的单调性、二次函数的单调性、零点的判定定理、分类讨论的思想方法是解题的关键．