Question

10．设变量x，y满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤3}\end{array}\right.$，则目标函数且ax+y=z的最小值为$\frac{1}{2}$时实数a的取值范围是$\left\{{-\frac{1}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值建立条件关系进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
∵目标函数且ax+y=z的最小值为$\frac{1}{2}$，
此时目标函数为ax+y=$\frac{1}{2}$，
即y=-ax+$\frac{1}{2}$，则此时直线过定点D（0，$\frac{1}{2}$），
由ax+y=z得y=-ax+z，
则当直线截距最小时，z最小，
则等价为可行域都在直线y=-ax+$\frac{1}{2}$的上方，
由图象知当直线y=-ax+$\frac{1}{2}$经过A时，满足条件，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），
此时-2a+$\frac{1}{2}$=1，即2a=-$\frac{1}{2}$，
则a=-$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\left\{{-\frac{1}{4}}\right\}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．