【题目】已知函数
(1)若a=1,求f(x)的极值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值(2)
【解析】分析:(1)求出导数,由不等式
确定增区间,由
确定减区间,从而得极值;
(2)问题等价于,因此用导数研究函数
的最小值,由最小值小于0可求得
的范围,注意要分类讨论.
详解:(1)a=1时,f(x)=x﹣lnx,函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=1﹣=
,令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,
f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,故f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值;
(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,等价于[f(x)﹣g(x)]min<0,
(x∈[1,e])成立,设h(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣alnx+,
则h′(x)=,令h′(x)=0,解得:x=﹣1(舍),x=1+a;
①当1+a≥e,h(x)在[1,e]递减,∴h(x)min=h(e)=e2﹣ea+1+a,
令h(x)min<0,解得:a>;
②当1+a<e时,h(x)在(1,a+1)递减,在(a+1,e)递增,
∴h(x)min=h(1+a)=a[1﹣ln(a+1)]+2>2与h(x)min<0矛盾,
综上,a>.
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【题目】已知函数 .
(1)用五点作图法画出在长度为一个周期的区间上的图象;
(2))求函数的单调递增区间;
(3)简述如何由的图象经过适当的图象变换得到
的图象?
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【题目】已知函数f (x)=ex,g(x)=x-b,b∈R.
(1)若函数f (x)的图象与函数g(x)的图象相切,求b的值;
(2)设T(x)=f (x)+ag(x),a∈R,求函数T(x)的单调增区间;
(3)设h(x)=|g(x)|·f (x),b<1.若存在x1,x2 [0,1],使|h(x1)-h(x2)|>1成立,求b的取值范围.
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【题目】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是.
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量
的概率分布及数学期望
;
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【题目】交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为,其范围为
,分别有五个级别:
,畅通;
,基本畅通;
,轻度拥堵;
,中度拥堵;
,严重拥堵.在晚高峰时段(
),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
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【题目】设函数,则下列命题中正确的个数是( )
①当时,函数
在
上是单调增函数;
②当时,函数
在
上有最小值;
③函数的图象关于点
对称;
④方程可能有三个实数根.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】甲、乙、丙人投篮,投进的概率分别是
,
,
.
(1)现人各投篮
次,求
人至少一人投进的概率;
(2)用表示乙投篮
次的进球数,求随机变量
的概率分布及数学期望
和方差
.
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【题目】随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[25,30] | 3 | 0.12 |
(30,35] | 5 | 0.20 |
(35,40] | 8 | 0.32 |
(40,45] | n1 | f1 |
(45,50] | n2 | f2 |
(1)确定样本频率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.
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