Question

四川省是最后一批进入新课标实施的省份之一，数学课将有一些深受学生喜爱的选修课．某中学在高一拟开设《数学史》等4门不同的选修课，规定每个学生必须选修，且只能从中选修一门．已知该校高一的三名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．
（Ⅰ）求甲、乙、丙这三个学生选修《数学史》这门课的人数不少于2的概率；
（Ⅱ）求4门选修课中恰有2门选修课这三个学生都没有选择的概率．

Answer 1

分析：根据题意，首先由分步计数原理计算3人选4门不同的选修课的情况种数，
（Ⅰ）选修《数学史》这门课的人数不少于2，包含有2人选修或3人选修两种情况，分别计算2人选修与3人选修的概率，进而由分类计数原理，将2种情况的概率相加可得答案；
（Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率，即3名学生选修了4门中的2门，由分步计数原理可得其情况数目，进而由等可能事件的概率，计算可得答案．

解答：解：根据题意，3人选4门不同的选修课的种数为4³，
（Ⅰ）三个学生选修《数学史》这门课的人数不少于2，包含有2人选修或3人选修两种情况，
 2人选修时，从3人中选出2人选修《数学史》，剩余1人选其他3门中的1门即可，则其概率P₁=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，
3人选修时，即三人全都选修《数学史》，其概率P₂=

C 3 3

43

=

1

64

，
∴P3=

9

64

+

1

64

=

5

32

．
（Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率，即3名学生选修了4门中的2门，
先从4门选修课中选出2门，作为选修的课程，将3名学生分为2组，一组2人，另一组1人，最后考虑其顺序，共有C₄²•C₃³•A₂²种情况，
则其概率P=

C 2 4 • C 2 3 • A 2 2

43

=

9

16

．

点评：本题考查等可能事件的概率的计算，涉及互斥事件的概率计算，注意3人选4门不同的选修课的种数为4³，而不是3⁴．