Question

已知O为坐标原点，点A（2，1），B（1，2），对于k∈N^*有向量

OPk

=k

OB

+

OA

，
（1）试问点P_k是否在同一条直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由；
（2）是否在存在k∈N^*使P_k在圆x²+（y-2）²=5上或其内部，若存在求出k，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量的线性运算即可证明；
（2）先判断直线与圆的位置关系，进而即可得出结论．

解答：解：（1）点P_k（k∈N^*）在同一条直线上，直线方程为y=2x-3．
证明如下：设P_k（x_k，y_k），则（x_k，y_k）=k（1，2）+（2，1），
∴

xk=k+2 yk=2k+1

，
∴y_k=2x_k-3．
∴点P_k在直线y=2x-3上．
（2）由圆x²+（y-2）²=5的圆心（0，2）到直线y=2x-3的距离为

|-2-3|

5

=

5

=r，
可知直线与圆相切，∴直线与圆及内部最多只有一个公共点．
联立

y=2x-3 x2+(y-2)2=5

解得

x=2 y=1

．
∴切点的坐标为：（2，1），此时k=0不满足题意，所以不存k∈N^*满足题意．

点评：熟练掌握向量的线性运算和直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．