Question

1．已知圆M上一点A（1，-1）关于直线y=x的对称点仍在圆M上，直线x+y-1=0截得圆M的弦长为$\sqrt{14}$．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线x+y+2=0上的动点，PE、PF是圆M的两条切线，E、F为切点，求四边形PEMF面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，圆心在直线y=x上，设为（a，a），圆的方程为（x-a）²+（y-a）²=r²，代入A的坐标，利用直线x+y-1=0截得圆M的弦长为$\sqrt{14}$，由此可得结论；
（2）先表示出四边形PEMF面积，再转化为求圆心到直线的距离即可．

解答 解：（1）由题意，圆心在直线y=x上，设为（a，a），圆的方程为（x-a）²+（y-a）²=r²，
则（1-a）²+（1-a）²=r²，$（\frac{|2a-1|}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}={r}^{2}$，
解的a=1，r²=4，
圆∴M的方程为（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）由切线的性质知：四边形PEMF的面积S=|PE|•r，
四边形PEMF的面积取最小值时，|PM|最小，即为圆心M到直线x+y+2=0的距离，即|PM|_min=$2\sqrt{2}$，得|PE|_min=2．知四边形PEMF面积的最小值为4．

点评 本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的求解，考查学生分析解决问题的能力，正确表示四边形PEMF的面积是关键．