Question

（本小题满分13分）

给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得：，半焦距       

则椭圆C方程为                       

“伴随圆”方程为                              ……………3分

（Ⅱ）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：，         

则整理得

所以，解①    ……………5分

又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，

则有化简得   ②      ……………7分

联立①②解得，，

所以，，则                   ……………8分

（Ⅲ）当都有斜率时，设点其中，

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

由，消去得到  ……………9分

即， ， 

经过化简得到：，               ……………11分

因为，所以有，

设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，

所以满足方程，

因而，即直线的斜率之积是为定值           ……………13分