Question

16．在△ABC中，D为边BC上一点，BC=3BD，若AB=1，AC=2，则AD•BD的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设BD=a，则DC=2a，利用余弦定理可得：cosB=$\frac{3{a}^{2}-1}{2a}$，可得AD=$\sqrt{2-2{a}^{2}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设BD=a，则DC=2a，∴cosB=$\frac{1+9{a}^{2}-4}{2×1×3a}$=$\frac{3{a}^{2}-1}{2a}$，
∴AD=$\sqrt{1+{a}^{2}-2acosB}$=$\sqrt{2-2{a}^{2}}$，
∴AD•BD=a•$\sqrt{2-2{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{{a}^{2}+1-{a}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴AD•BD的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．