Question

（2013•浙江模拟）一个口袋中装有2个白球和n个红球（n≥2且n∈n^*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（Ⅰ） 摸球一次，若中奖概率为

1

3

，求n的值；
（Ⅱ） 若n=3，摸球三次，记中奖的次数为ξ，试写出ξ的分布列并求其期望．

Answer 1

分析：（I）求出一次摸球从n+2个球中任选两个方法，两球颜色相同有C_n²+C₂²种选法，即可求出摸球中奖的概率P，再由p=

1

3

即可求n的值；
（II）由题意知若n=3，求得每次摸球中奖的概率

2

5

，根据ξ～B（3，

2

5

），Eξ=n×p，即可求出ξ的期望．

解答：解：（I）一次摸球从n+2个球中任选两个，有C_n+2²种选法，其中两球颜色相同有C_n²+C₂²种选法；
一次摸球中奖的概率P=

C 2 n C 3 2

C 2 n+2

=

n2-n+2

n2+3n+2

；
由

n2-n+2

n2+3n+2

=

1

3

得n=2；
（II）由题意知若n=3，则每次摸球中奖的概率为p=

C 2 2 + C 2 3

C 2 5

=

2

5

，且ξ～B（3，

2

5

）
所以ξ的期望为Eξ=n×p=

6

5

．

点评：本题考查组合及组合数公式，等可能事件的概率，离散型随机变量期望．求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量 的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1．③求出期望．