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6.已知α,β∈(0,$\frac{π}{2}$),且满足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos(α+β)
(1)求证:tan(α+β)=2tanα;
(2)求证:tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$;
(3)将tanβ表示成tanα的函数关系式,并求tanβ取到最大值时,tan(α+β)的值.

分析 (1)由$\frac{sinβ}{sinα}$=cos(α+β)可得:$\frac{sin[(α+β)-α]}{sinα}$=cos(α+β),利用两角差的正弦公式展开整理后,弦化切可得答案;
(2)由$\frac{sinβ}{sinα}$=cos(α+β)可得:$\frac{sinβ}{sinα}$=cosαcosβ-sinαsinβ,利用同角三角函数的基本关系公式对式子化简变形,可得答案;
(3)由(2)中结论弦化切后,可将tanβ表示成tanα的函数关系式,进而利用基本不等式和(1)中结论,得到tanβ取到最大值时,tan(α+β)的值.

解答 证明:(1)∵$\frac{sinβ}{sinα}$=cos(α+β)
∴$\frac{sin[(α+β)-α]}{sinα}$=cos(α+β)
∴sin[(α+β)-α]=sinαcos(α+β)
∴sin(α+β)cosα-sinαcos(α+β)=sinαcos(α+β)
∴sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β)
即tan(α+β)=2tanα;
(2)∵$\frac{sinβ}{sinα}$=cos(α+β)
∴$\frac{sinβ}{sinα}$=cosαcosβ-sinαsinβ,
∴sinβ=sinαcosαcosβ-sin2αsinβ,
∴tanβ=sinαcosα-sin2αtanβ
∴sinαcosα=(1+sin2α)tanβ
∴tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$;
解:(3)由(2)得:tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{sinαcosα}{2si{n}^{2}α+{cos}^{2}α}$=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$,
∵α,β∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴tanα∈(0,+∞),
由tanβ=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2tanα+\frac{1}{tanα}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
可得:当tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,tanβ取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
此时tan(α+β)=2tanα=$\sqrt{2}$.

点评 本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式和斜弦公式,基本不等式,是三角函数与不等式的综合应用,难度中档.

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