Question

4．已知椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，上顶点B是抛物线x²=4y的焦点．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若P、Q是椭圆M上的两个动点，且OP⊥OQ（O是坐标原点），由点O作OR⊥PQ于R，试求点R的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意的离心率及抛物线的焦点坐标求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线PQ与x轴不平行时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可得：原点O到PQ的距离丨OR丨=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{丨n丨}{\sqrt{\frac{3{n}^{2}}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可知动点R的轨迹以O为圆心，$\frac{\sqrt{6}}{3}$为半径的圆，即可求得点R的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ） 由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即a=$\sqrt{2}$b抛物线x²=4y的焦点（0，1），
则b=1，则a=$\sqrt{2}$，
椭圆M的标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）当直线PQ∥x轴时，则PQ：y=m，则P（$\sqrt{2-2{m}^{2}}$，m），Q（-$\sqrt{2-2{m}^{2}}$，m），
由OP⊥OQ，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，整理得：3m2-2=0，解得：m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴丨OR丨=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
当直线PQ与x轴不平行时，则PQ：x=ty+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+2）y²+2tny+（n²-2）=0，
y₁+y₂=-$\frac{2tn}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$，
由OP⊥OQ，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，x₁x₂+y₁y₂=0，即（ty₁+n）（ty₂+n）+y₁y₂=0，
即（t²+1）y₁y₂+tn（y₁+y₂）+n²=0，
化简整理得：t²=$\frac{3{n}^{2}}{2}$-1，
∴n²≥$\frac{2}{3}$，
由原点O到PQ的距离丨OR丨=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{丨n丨}{\sqrt{\frac{3{n}^{2}}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴动点R的轨迹以O为圆心，$\frac{\sqrt{6}}{3}$为半径的圆，
∴点R的轨迹方程x²+y²=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．